6基于分形理论的变压器磁滞回环拟合新方法郑浓刘万顺刘建飞李贵存21.华北电力大学方研究所，北京185；2.北京和利时公司，北京0，96压器铁磁材料的动态磁化规律，是提高变压器暂态仿真准确性的关键。作者首次运用分形理论中的基本观点，证明了铁磁材料的磁滞回环族是种分形形，从本质上揭了铁磁材料动态磁化过程中所遵循的规律，从机理上探讨了变压器主次磁滞回环之间的关系。在此基础上，应用分形学中迭代函数系统的基本理论，对铁磁材料的次磁滞回环拟合提出了种变压缩因子方法，通过对主磁滞回环进行线性迭代压缩计算来生成次磁滞回环。仿真结果验证了这种方法的正确性。

　　1引言超压远距离输电对大型变压器保护的可基金项目国家自然科学基金资助项目5，277012.

　　靠性快速性提出了更高的要求。如何正确鉴别励磁涌流和内部故障电流仍然是变压器差动保护应首要解决好的问。变压器励磁涌流仿真的关键在于如何处理变，鞔呕，体，那慨线性特性，变压器铁磁材料多值的磁化模型般可由个主磁滞回环和大量的包含在其内部的次磁滞回环组成。变压器空载合闸时，受合闸初相角铁磁材料原始剩磁的大小和方向等诸多条件的影响，不定运行在主磁滞回环上，要想确切地知道铁磁材料回环来推测次磁滞回环的数据，正确地揭变压器铁磁村料主次磁滞之间的关系，则是变卡器暂态仿真的关键。

　　通过仔细分析和研宄由实验所得铁磁材料的典型磁滞回环，笔者发现主磁滞回环和内部各次磁滞回环之间具有某种分形的特征，首次运用分形即。论的基木观点，证明了铁磁村料的磁滞环族足，种分形阁形，从本质上揭小铁磁材料动态磁化过程中所遵循的规律在次磁滞环的拟合提出了种变压缩因子方法，通过对主磁滞回环进行迭代压缩计算来生成次磁滞回环，并用仿真结果验证了这种方法的正确性。

　　2分形理论基础分形理论，7是非线性科学中新兴的个重要分支，它是由研宄不规则不确定的形状而产生的。分形是自然界中的种普遍现象。分形理论认为分形内部住何个相对独立影。它揭了整体和部分之间的内在联系，说明了部分与整体之间的信息的同构。

　　分形至今仍没有个完全令人满意的定义，但通常把具有下面典型性质的集称为分形1具有精细结构，即它包含有任意小比例的细节2介是如此的不规则，以罕它的部和整体都不能用传统的几何语言来描述；3厂通常几有某种相似的形式，能是近似的或是统计的；4般来说，的分维以某种方式定义大于它的拓扑维；5在大多数令人感兴趣的情形下，以非常简单的方法定义，可能由迭代产生。

　　拓扑维数的定义2为所有离，集合的拓扑维，7都是若集合中的每点的任意小邻域的边界都具柯扑维7.=，17为整数，3么这个集合的拓扑维是。例如点是，维的，线是1维的，面是2维的，而立方体是3维的。

　　拓扑维数不能对像分康拓，沉集科契，吐曲线谢尔宾斯基8那，出垫等所谓的不规则集提供很好的刻画，只有引入分数维这种新尺度才可以实现。分数维的计算有多种，常阽的1似维数豪断道夫，酵，出维数盒出，维数等。相似维数仅对严格自相似集才有意义，所谓严格自相似集是指该集合中任局部的形状与整体是相似的，即只要将每个局部放人定形，我们所研究的对象是拟自相似集。拟相似集不是严格的自相似集，它具有拟自相似性，即该集的任意小的部分可以放大，然后平滑地变形使之较人的部分相似。豪斯道夫，遗维数是数学即。论1的种重要维数，它具育对任何集都有意义的优点，但由于在很多情形下很难对其进行估计和计算，所以限制了它的应用。盒办，维数是目前应用广泛的维数之，下面给出其定义。

　　价是可以覆盖厂的边长为的维立方体记作8 1立方体的少个数，则，的盒维，8定义为当极限存在时分形集般由无限多个点组成，它们的分布，是如此复杂，以至不可能通过直接给定每个点的位置来描述它。闪此，想通过各部分之的相互系来定义它例如康拓集，可以看成是由与它自身相似的两部分组成的，从而入了迭代函数系空间心上的个映射，如果存在个正的常数使，0，尤义则称，为上的压缩映射，称为压缩因子。

　　迭代函数系统的定义2完备的度量空间以及个压缩映射，其报缩因子分别为，02，6，起成个迭代函数系统，简称圯8，记作！义1.叱，6，称为正8的压缩因子。

　　3分形理论在变压器磁滞回环拟合中的应用铁磁村料的磁滞回环可分为小磁滞叫环和次磁滞环，铁磁材料磁化过积中所处磁滞环的形状大小和位置不仅影响本时间段内磁化电流波形，而且还决定后续时间的磁化轨迹，因此，暂态磁化过程是具有历史记忆性的。变压器空载合闸时，磁化轨迹不定在主磁滞回环上，大多数情况下运行在次磁滞回环上，因此，对于磁化过程中次磁滞回环的锫确描述是暂态磁化建投的关键所对厂不同的铁磁材料，人们作大景实验，得出了动态磁化过程的1呜统计规，并发现次磁滞回环与主磁滞回环的形状具有某种自相似性。对于同种铁磁村料，可以判定如果小磁滞回环+是矩形，那么次磁滞回环必定不是矩形轨迹，而圮与主磁滞回环属于同类别的轨迹1线。由此判断由众多的磁滞回环所组成的几何形有可能是种分形形。下面利用分形的定义以及盒维数的基本概念，1正明由主磁滞回环以及众多的次磁滞环所组成的磁滞回环族确实是种分形形，从中可以明显地看出，主磁滞回环和各次磁滞回环具某种相似性，各次磁滞环整个磁滞环族具存某种相似性，它们几有分形的自相似特征，按照拓扑维数的定义，并山实验所得的铁磁材料磁滞回环可知，磁滞回环的拓扑维数是维数学描述的复杂性，要想地计算出磁滞回环的盒维数，尚有很大的难度。可以借助于计算科契化，也曲线长度的思想，对磁滞回环的盒维数给出定量的估计。设铁磁材料的磁滞回环族构成集厂由于厂可由无限细分的磁滞回环构成，当用维尺度来度量的长度，其结果是，另方面，磁滞回环在平面内不占有面积，当用维尺度来度量厂的面积，其结果是，可常规的维和维尺度付于磁滞，环族的大小都没有给出有效的描述，由此可定试的估汁磁滞环族的维数是个介于12之间的数，即分数维。由于磁滞回环族集的分数维以某种方式定义的分维概念火于它的拓扑维，而1具有精细的结构，厂的整体与局部几有某种自相似性，均满足分形的定义，所以，可以把铁磁村料的磁滞，环族，作为种分形形。应用分形学迭代函数系统的基本理论，可将主磁滞回环作为原始输入，按照定的原则确定出压缩映射因子，通过对主磁滞回环进行迭代压缩来生成次磁滞回环族。关于次磁滞回环的拟合，国内外己作了不少的探索。文献3采用压缩算法由主磁滞纟环按定的比例压缩生成次磁滞回环，该方法较好地反映了主兹滞，环与次兹滞，环之间的某种自相似性，但由于该方法总是以磁化曲线的正负向饱和点作为压缩卞成的次磁滞回环的趋向点，所以不能较4实地反映局部磁滞叫环的实际形状文献⑷采用当前拐点！

　　口0甘的思想来拟合次磁滞回环的轨迹，较真实地反映局部磁滞回环的走向，但由于文献4是在假定主磁滞回环与次磁滞回环之间的位移是线性变化的前提由主磁滞回环生成相应的次磁滞，环，所以也不能较好地反映出局部磁滞回环的实际形状文结合文献和文献⑷中所提出的次磁滞回环拟合的原则和方法，在融合它们各自的优点的基础上，提出了种新的拟合方法，即变压缩因子法，并利用变压器铁磁材料的仿真结果验证了这种方法的正确性。

　　次磁滞回环的拟合过程2.首先对由实验所得数据应用人工神经元网络训练得到铁磁元件的主磁滞回环包括各点的坐标以及相应点的导数，磁滞环石侧描述的圮铁磁村料磁化过程中的增磁过程，主磁滞回环左侧侧描述的足铁磁材料磁化过程中的减磁过程，2中用1主磁滞回环1标2分，相应的1降，上升分支，尤磁饱和后的渐近线方程下标2分别相应的负向饱和，正向饱和后的渐近线，可为般的形式迎过选，正向或负向饱和的末梢两点，山直线的两点式方程即可确定参数，以下降分支为例，设2点是由上升转为下降的拐点，5点是由下降转为上升的拐点，则下降的次磁滞回坐标所决定的压缩因子因此，付十次磁滞回线内任意。点的导数可很容易地求得同样，对于次磁滞回线的上升分支可列写方程坐标所决定的压缩因子对于次磁滞回线内任总点的导数可求得为了能更真实地反映次磁滞回环的形状，本文在文献4的基础上提出了种新的方法。仍以2为例加以说明，设5点是迭代计算出的新拐点，2点是前个拐点，在仿真程序的编制中注意存贮前个拐点的坐标信息。为使从新拐点5点开始的次磁滞回线轨迹能穿过前个拐点2点，应利用已存贮的前个拐点2点确定下降分支的压缩因子尤，即K，Vdot2dot由新拐点5点所确定的尤，如式5所不。般来讲，式5和式7会存在定的差异，在仿真程序的编制中，压缩因子反按照线性变化的原则从新拐点5点过渡到前个拐点2点，这样采用变压缩因子的方法就确保了从新拐点开始的次磁滞回线轨迹能穿过前个拐点。由于采用线性变化的压缩因子进行迭代计算，从而使得主磁滞回环与次磁滞回环之间的位移变化是种非线性的关系，它较文献4更合理地反映次磁滞回环的形状。对应于下降分支的变压缩因子的确定方法与上述方法类似，不再赘述。

　　4仿真结果为了验证上述思想的正确性，本文用清华大学动模实验室单相变压器17.5的实验数据来加以验证，以变压器的接线为例，参照文献5中的接线参数=5，合闸初相角为1=3.7勒，采用经典的阶龙格库塔6，3法进行迭代计算，3为采用变压缩因子法生成的次磁滞回环的意以5相为例，4为采用变压缩因子法所得励磁涌流的仿真波形，与文献5中的实验波形吻合，从而验证了该方法的正确性。

　　5结论通过仔细分析和研宄同铁磁材料的主磁滞回环和内部各次磁滞回环的形状及位置关系，本文发现它们之间具有某种分形的特征，并首次运用分形理论中的基本观点，证明了铁磁材料的磁滞回环族是种分形形，从本质上揭了铁磁材料动态磁化过程中所遵循的规律。应用分形学中迭代函数系统的基本理论，在对次磁滞回环的拟合中提出了种变压缩因子方法，通过对主磁滞回环进行迭代压缩计算来生成次磁滞回环，从而使得对铁磁材料动态磁化过程的描述更为科学合理，提高了仿真的精度。仿真结果验证了这种方法的正确性。

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　　沈玲岩，王维俭。计及铁磁非线性的相变压器励磁涌流仿真研宄习。清肀大学学报自然科学版，989，294.

　　郑涛1975，男，博士研究生，研究方向为变压器保护与仿真等；刘万顺94男，教授博士生导师，旧明会员，研究方向为电力系统数字仿真电力系统微机保护等；刘建飞1960，男，教授，研究方向为电力系统微机保护与变电站自动化等；李贵存1972，男，博士，主要从事电力系统微机保护与数字仿真的研究。

　　编辑杨天和